Задание №13 КИМ ЕГЭ
Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°. а) Докажите, что ABCD — квадрат. б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен √2.
Решение
а) Поскольку AB является диаметром верхнего основания цилиндра, он перпендикулярен его оси, а следовательно, он также перпендикулярен плоскости основания. Кроме того, CD касается нижнего основания цилиндра, а значит, является его диаметром. Следовательно, CD также перпендикулярен оси цилиндра. Таким образом, AB и CD перпендикулярны друг другу, а значит, ABCD является прямоугольником.
Для того, чтобы доказать, что ABCD является квадратом, необходимо показать, что его стороны равны. Рассмотрим проекцию прямоугольника на плоскость нижнего основания цилиндра. Так как CD является диаметром этой окружности, то она делит её на две равные части, и каждая сторона прямоугольника проектируется на одну из этих частей. Поскольку плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°, то проекция каждой стороны на эту плоскость образует угол 60° с соответствующей частью окружности.
Таким образом, каждая сторона прямоугольника является хордой соответствующей части окружности. При этом, поскольку радиус цилиндра равен корню из 2, диаметр его основания равен 2, а значит, длина каждой стороны прямоугольника равна корню из 2. Таким образом, ABCD является квадратом.
б) Обозначим точки E и F как точки пересечения отрезка BD с верхним и нижним основаниями цилиндра соответственно. Тогда EF является высотой на основание AB цилиндра. Рассмотрим прямоугольный треугольник AEF с прямым углом в вершине E.
Так как AB является диаметром верхнего основания цилиндра, то его длина равна 2√2. Кроме того, поскольку плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°, то угол AFE также равен 60°. Таким образом, треугольник AEF является равносторонним.
Следовательно, EF равна стороне этого треугольника, то есть EF равна 2√2 / √3 = 2√6 / 3.
Теперь можно найти длину части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра. Она равна длине отрезка BE, уменьшенной на длину EF:
BD(снаружи) = BE — EF = AB — EF = 2√2 — 2√6 / 3 = (6√2 — 2√6) / 3.
Таким образом, длина той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, равна (6√2 — 2√6) / 3.
