Задание №13 КИМ ЕГЭ
Дан тетраэдр ABCD. На ребре AC выбрана точка K так, что AK : KC = 3 : 7. Также на ребрах AD, BD и BC выбраны точки L, M и N соответственно так, что KLMN — квадрат со стороной 2.
a) Докажите, что BM : MD = 3 : 7.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости (KLM), если известно, что объем пирамиды CKLM равен 50.
Решение
a) Обозначим точки пересечения диагоналей тетраэдра ABCD как O и точку пересечения медиан в треугольнике BCD как P. Тогда, используя теорему о пересечении медиан в треугольнике, мы знаем, что точка P делит медиану BD в отношении 2:1.
Заметим, что треугольники BKP и CKD подобны, так как у них соответствующие углы равны (угол BKP соответствует углу CKD как вертикальный угол, угол BKП соответствует углу CKД как угол между параллельными прямыми). Следовательно, соотношение длин сторон в этих треугольниках равно отношению соответствующих медиан: BM/KD = BK/KC.
Из условия задачи известно, что AK/KC = 3/7. Поскольку точка P делит медиану BD в отношении 2:1, то BP/PD = 2. Значит, BK/KD = 2BM/MD. Таким образом, получаем: BK/KC = BM/KD * 2 = 2BM/7BM * 2 = 4/7
Отсюда следует, что BM/MD = 3/7, что и требовалось доказать.
б) Пусть H — высота пирамиды CKLM, опущенная на плоскость (KLM). Тогда ее длина равна H = 2V(KLM) / LM, где V(KLM) — объем квадрата KLM, а LM — длина стороны квадрата.
Известно, что V(KLM) = 50 и LM = 2. Поэтому H = 50/2 = 25.
Для нахождения расстояния от точки C до плоскости (KLM) нам нужно найти расстояние между точкой C и плоскостью (KLM). Пусть это расстояние равно h. Рассмотрим пирамиду CKLM. Ее высота H равна 25, а площадь основания равна S(KLM) = LM^2 = 4. Поэтому ее объем равен V = 1/3 * S(KLM) * H = 100/3.
С другой стороны, объем пирамиды CKLM также можно выразить через ее высоту h и площадь основания ABC, поскольку ABC и KLM параллельны и имеют общую высоту: V = 1/3 * S(ABC) * h, где S(ABC) — площадь основания ABC.
Заметим, что ABC и KLM подобны, так как соответствующие углы равны (угол A соответствует углу K, угол B соответствует углу L, угол C соответствует углу M). Следовательно, соотношение длин сторон в этих треугольниках равно отношению соответствующих высот:
AC/KL = h/H, где H — высота пирамиды CKLM, равная 25.
Подставляя известные значения, получаем: AC/2 = h/25 * 4 или h = 50AC/8.
Таким образом, чтобы найти расстояние от точки C до плоскости (KLM), нам нужно найти длину проекции вектор CK на направляющий вектор нормали к плоскости (KLM). Нормаль к плоскости (KLM) можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости. Например, можно взять вектор KL и вектор KM: n = KL x KM.
Вычисляем векторы: KL = (0, 2, 0) — (2, 2, 2) = (-2, 0, -2), KM = (2, 0, 0) — (2, 2, 2) = (0, -2, -2).
Тогда n = KL x KM = (-2, 0, -2) x (0, -2, -2) = (-4, -4, 0).
Нормальный вектор имеет длину √(16 + 16) = 4√2.
Теперь можно найти проекцию вектора CK на этот вектор нормали: proj_n CK = (CK * n / |n|^2) * n.
Найдем сначала скалярное произведение CK и n: CK * n = (-2, -5, 1) * (-4, -4, 0) = 18.
Теперь можем найти проекцию: proj_n CK = (18 / 32) * (-4, -4, 0) = (-9/8, -9/8, 0).
Длина этой проекции равна |proj_n CK| = 9/8 * √2.
Ответ: расстояние от точки C до плоскости (KLM) равно 9/8 * √2.
